复合函数的导数(16个基本初等函数的求导公式)

本篇文章给大家谈谈复合函数导数,以及16个基本初等函数的求导公式对应的知识点,希望对各位有所帮助。

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求复合函数的导数

1.设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);2.设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);

设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为D_。

M_∩Du≠_,那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(compositefunction)。

复合函数求导怎么求?

复合函数求导公式:①设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x),设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。

有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为:y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。

扩展资料

求函数的定义域主要应考虑以下几点:

⑴当为整式或奇次根式时,R的值域;

⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);

⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;

⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数导数公式

复合函数导数公式如下:

含义:

设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠0,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数。

论证说明:

f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)。

证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0。

因lim(x-x0)H(x)=lim(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)。

所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。

反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。

因存在极限lim(x-x0)H(x)=lim(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x-x0)f'(x)=H(x0)。

所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)。

引理证毕。

延伸论证说明:

设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。

证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)。

于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)。

因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。

复合函数的导数怎么求?

等价替换公式如下:

1、sinx~x

2、tanx~x

3、arcsinx~x

4、arctanx~x

5、1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1

6、(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna)

7、(e^x)-1~x

8、ln(1+x)~x

9、(1+Bx)^a-1~aBx

10、[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x

11、loga(1+x)~x/lna

12、(1+x)^a-1~ax(a≠0)

复合函数的导数求法:

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。 

即对于y=f(t),t=g(x),则y'公式表示为:y'=(f(t))'*(g(x))' 

例:y=sin(cosx),则y'=cos(cosx)*(-sinx)=-sinx*cos(cosx) 。

复合函数求导公式什么?怎么求导?

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。主要方法:先对该函数进行分解,分解成简单函数,然后对各个简单函数求导,最后将求导后的结果相乘,并将中间变量还原为对应的自变量。

设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数。

复合函数求导公式:①设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。先对该函数进行分解,分解成简单函数,然后对各个简单函数求导,最后将求导后的结果相乘,并将中间变量还原为对应的自变量。两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0,否则无意义。

复合函数求导,就是找出构成复合函数的子函数,一个复合函数可以拆分成无数种子函数。对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数,一般来说会以它为中心进行化简,即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。将复合函数的本框架作为原函数,化好子函数后,就是求导过程,画出来的函数全部求导,代入即可。

复合函数如何求导

复合函数求导法则如下:

一般地,对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yⅹ'=yu'·uⅹ',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如说:求ln(x+2)的导函数

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注:此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注:1即为(x+2)的导数】

复合函数求导的步骤:

1、分层:选择中间变量,写出构成它的内,外层函数。

2、分别求导:分别求各层函数对相应变量的导数。

3、相乘:把上述求导的结果相乘。

4、变量回代:把中间变量回代。

主要方法:

先对该函数进行分解,分解成简单函数,然后对各个简单函数求导,最后将求导后的结果相乘,并将中间变量还原为对应的自变量。例如,复合函数求导。

求复合函数的导数注意:

1、分解的函数通常为基本初等函数。

2、求导时分清是对哪个变量求导。

3、计算结果尽量简单。

4、对含有三角函数的函数求导,往往需要利用三角恒等变换公式,对函数式进行化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导。

5、分析待求导的函数的运算结构,弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的,确定所需的求导公式。

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